حالة أرضية شبيهة بالهيدروجين وقابلة للتطبيع

01المؤثر وهدفه الفيزيائي

ننظر في H=−DΔ−C/r مع D,C>0 على مكان ثلاثي الأبعاد. يعاقب الحد الأول التغير المكاني السريع؛ ويكافئ الثاني القرب من المصدر الموجب. ويجب أن تكون الحالة الذرية السليمة قابلة للتكامل التربيعي وتقع تحت عتبة التفكك. وتستخدم مذكرة الهيدروجين تحقق فريدريش لهذا المؤثر المحدود من الأسفل، بدلاً من معالجة جهده المفرد على نحو غير صوري. وتضبط تقديرات من نوع هاردي حد كولوم نسبةً إلى الصيغة الحركية. وهذا يقدم نموذجاً غير نسبي محكم التعريف قبل إضافة تفسير الدالة الموجية بوصفها سجلاً زمنياً مكتملاً.

02إيجاد مقياس الطول

من الطبيعي اختيار صيغة اختبار أسية ψ∝e^(−r/rB)، لأن الحالة المرتبطة ذات الطاقة السالبة تتلاشى عند المسافات الكبيرة. ويكشف التعويض في المعادلة الشعاعية أن إلغاء حدود 1/r يتطلب rB=2D/C. ويعطي الثابت الباقي E₁=−C²/(4D). ويمكن إثبات النتيجة على المجال كله بإكمال مربع في الصيغة التربيعية، فهي ليست مجرد تخمين تغايري جيد. فطاقة كل حالة مطَبَّعة لا تقل عن E₁، وتحقق الدالة الأسية الحد.

rB = 2D/C; E₁ = −C²/(4D).

⟨ψ,Hψ⟩ + D||ψ||²/rB² = D∫|∇ψ + r̂ψ/rB|²d³r ≥ 0.

يُرسم منحنى موجب للطاقة الحركية يتناسب عكسياً مع مربع الحجم، وتجاذب سالب يتناسب عكسياً مع المسافة، والطاقة الكلية بدلالة الحجم. وللطاقة الكلية قيمة دنيا سالبة. — **الشكل 1. حالة شبيهة بالهيدروجين توازن بين مقياسين.** للصيغة التغايرية التوضيحية E(a) = A/a² − B/a قيمة دنيا عند a = 2A/B إذا كان A,B > 0. ينتج الارتباط بعد إعطاء الحدين الحركي والتجاذبي؛ ويبقي هذا الحساب B، ومن ثم الاقتران، حراً. عرض بالحجم الكامل ↗ الرسم بالعربية الرسم بالإنجليزية عرض النسختين والمقالات المرتبطة

03التطبيع ومعنى الصورة

الدالة الموجية الأرضية المطَبَّعة هي ψ₁=e^(−r/rB)/(πrB³)^(1/2). ويعطي ضرب مربع مقدارها في 4πr² احتمال قشرة كروية: P(r)=4r²e^(−2r/rB)/rB³. ويبلغ احتمال القشرة قمته عند rB، بينما تبلغ كثافة الاحتمال لكل حجم قمّتها عند الأصل. ومتوسط الانفصال 3rB/2. وينبغي تسمية هذه الكميات المختلفة منفصلةً في الرسوم. ولا تحمل الدالة الأرضية الحقيقية الساكنة تيار احتمال. واستقرار الذرة توزيع ساكن وتطور طور، لا دليل على جسيم صغير في مسار دائري مرئي.

04الطيف المرتبط واختبار مستقل عن المقياس

يعطي فصل المتغيرات الزاوية معادلة شعاعية بحد طرد مركزي Dℓ(ℓ+1)/r². وتتطلب قابلية تطبيع حلها فوق الهندسي n=nr+ℓ+1، فينتج En=E₁/n². ويُهمل اللف المغزلي، لذلك تكون تعددية المستوى n² في هذا النموذج. وتختبر نسب الطاقات البنية الرياضية دون تثبيت مقياس ذي أبعاد. فمثلاً، نسبة فرق الطاقة 2→3 إلى فرق الطاقة 1→2 هي 5/27. وهذا ليس تنبؤاً بشدة الخط أو عمره؛ فهما يحتاجان إلى اقتران إشعاعي غائب عن المؤثر.

En = −C²/(4Dn²); (E₃−E₂)/(E₂−E₁) = 5/27.

تقع مستويات الطاقة الأفقية للحالات المرتبطة عند سالب واحد، وسالب ربع، وسالب تسع، ثم عند مقلوبات مربعات متتابعة، مقتربة من عتبة الاستمرار ذات الطاقة الصفرية. — **الشكل 2. طيف كولوم مشروط بالهاملتوني المعطى.** في هاملتوني كولوم غير النسبي، تتبع المستويات المرتبطة القانون En = −E₀/n² وتقترب من عتبة الاستمرار. يستخدم الرسم النسبة اللابعدية E/E₀، ولا يشتق الاقتران ولا يقدم تصحيحات إشعاعية. عرض بالحجم الكامل ↗ الرسم بالعربية الرسم بالإنجليزية عرض النسختين والمقالات المرتبطة

05موضع دخول القاموس الذري المألوف

نقدم مقياس فعل a وكتلة مختزلة μ، ونضع D=a²/(2μ). ونكتب C=gac. عندئذ rB=a/(μcg) وEn=−μc²g²/(2n²). وإذا كان a=ħ وحددت المطابقة الكهرومغناطيسية g=α، أصبحت هذه صيغ الهيدروجين المعتادة في الرتبة الرئيسة. وتعطي مبرهنة الفيريال الجذر التربيعي لمتوسط مربع السرعة النسبية vrms/c=g/n. وفي الحالة الأرضية يساوي g، بينما متوسط متجه السرعة صفر. ولا تحدد هوية السرعة أو الطيف g باستقلال: فقد اشتقا من هاملتوني يتضمن معامله g مسبقاً.

06اشتقاق إحصاء السرعة دون مدار دائري

لحالة كولوم الذاتية، علاقة الفيريال 2⟨T⟩=−⟨V⟩، ومن ثم ⟨T⟩=−En=μc²g²/(2n²). ومع القاموس الحركي المعطى T=p²/(2μ)، نحصل على √⟨p²⟩/μ=cg/n. وهذه سرعة جذر متوسط المربع للإحداثي النسبي. وتختلف سرعة الإلكترون حول مركز الكتلة بالعامل μ/me عند حفظ الحركة النووية. ويقترب هذا العامل من الواحد في حد نواة لا نهائية الثقل. لذلك قد يكون للحالة الساكنة 1s تباين زخم غير صفري، مع انعدام متوسط متجه سرعتها وتيار احتمالها. ويجعل هذا الاشتقاق الصلة الأرضية المألوفة بألفا دقيقة، دون ادعاء مسار كلاسيكي أو استخدام الصلة لتحديد الاقتران.

07معنى النمط المستقر في نموذج الجوهر الفرد ونظرية ازدواجية الزمن

يمكن للهاملتوني نفسه توليد تطور الطور الخارجي U(T)=e^(−iTH/a)، فتكون الحالة الذاتية المرتبطة قراءة مكانية مستمرة ذات طور متغير. وهذا معنى دقيق للرنين الزمني. وتعتمد عودة الطور المطلق على صفر الطاقة المختار؛ أما خفقات الانتقالات المقاسة فتعتمد على فروق الطاقة. والتحدي على مستوى المصدر اشتقاق هذا المؤثر الفعال وتطبيع ساعته من التوليد الداخلي المتداخل، لا مجرد تفسير حالاته الذاتية بعد ذلك. ويقدم النموذج الأدنى اختبارات دقيقة لهذا التحدي: التموضع والحد الأدنى والشكل المطَبَّع ونسب الطيف واتساق الانتقالات.

تابع الصلة

أفكار أساسية

يثبت إكمال مربع دقيق الحالة الأرضية الكولومية.
تصف الكثافة الساكنة واحتمال القشرة الشعاعية كميتين مختلفتين.
يدخل الاقتران الفيزيائي عبر قاموس إضافي.

نطاق الحجة. حل دقيق لنموذج كولومي غير نسبي مشروط، مع إهمال اللف المغزلي والإشعاع والبنية النووية.

المصادر والقراءة

تستند هذه النسخة العربية إلى المقال الإنجليزي المقابل. تُحفظ هوية الأعمال والمراجع ودرجة الاستدلال الواردة في المصدر.

A Minimal Neutral-Pair Hydrogen Model for SMM/DTT, مذكرة عملsmm_dtt_minimal_hydrogen.pdf, المذكرة كاملة، ص. 1–8
مكتبة NIST الرقمية للدوال الرياضية: تشتت كولوم والأطياف الذرية ↗