اشتقاق مفصّل: حالة كولوم الأرضية الدقيقة

المدخلات: فضاء الحالات والمعاملات والعتبة

ليكن r=|x| الفصل النسبي بين مكوّنين في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد. تنتمي الحالات إلى L²(ℝ³)، مع التطبيع ∫|ψ|²d³x=1. نعطي معاملين موجبين D وC وصيغة الطاقة q[ψ]=D∫|∇ψ|²d³x−C∫|ψ|²/r d³x على فضاء سوبوليف H¹(ℝ³). ويُقصد بالمؤثر H=−DΔ−C/r التحقيق الذاتي الترافق المرتبط بهذه الصيغة المغلقة والمحدودة من أسفل.

الأبعاد هي [D]=طاقة×طول² و[C]=طاقة×طول. ويؤول الجهد إلى الصفر عند الفصل اللانهائي، مما يثبت عتبة الجسيمين المنفصلين عند الصفر. ولذلك يمكن أن تشير الطاقة السالبة إلى ارتباط في هذا النموذج. تحدد هذه المدخلات الهندسة وقاعدة الاحتمال وتفاعلاً تجاذبياً؛ وهي المكونات الفعالة التي ينبغي لبناء SMM/DTT على مستوى المصدر أن يولدها في نهاية المطاف.

يُضبط تفرد كولوم بدلاً من إهماله. تعطي متباينة هاردي في ثلاثة أبعاد ومتباينة كوشي–شفارتس ∫|ψ|²/r≤2‖ψ‖₂‖∇ψ‖₂. ومن ثم يكون الجهد محدوداً بالنسبة إلى صيغة الطاقة الحركية بحد نسبي متناهٍ في الصغر: يحدّ مقداره مضاعف موجب اعتباطي الصغر من ‖∇ψ‖₂²، مضافاً إليه مضاعف منتهٍ من ‖ψ‖₂².

الخطوة 1: إيجاد حالة مرشحة بالتعويض المباشر

نجرب دالة أسية شعاعية ψ=N exp(−r/a)، حيث a طول موجب وN ثابت سنحدده. عندما r>0 يكون مؤثر لابلاس الشعاعي f″+2f′/r. والمشتقتان الأولى والثانية لهذه الدالة الأسية هما −ψ/a وψ/a²، على الترتيب.

يجب أن تكون القيمة الذاتية مستقلة عن الموضع. نلغي معامل 1/r بوضع a=2D/C. ويعطي المعامل المتبقي E₁=−D/a²=−C²/(4D). إذن ينتج كل من الطول والطاقة من الإلغاء نفسه. ويسري الحساب بالمعنى الضعيف عبر نقطة الأصل؛ فالتدفق الشعاعي عبر كرة يتقلص نصف قطرها يؤول إلى الصفر، ولذلك لا تضيف هذه الدالة الأسية حد دلتا لمصدر نقطي.

تجد هذه الخطوة دالة ذاتية. لكنها لم تستبعد بعدُ وجود حالة أخرى ذات طاقة أدنى. وبالمثل، فإن تقديراً تغايرياً وحده لا يعطي إلا حداً أعلى لطاقة الحالة الأرضية.

الخطوة 2: إثبات حد شامل بإكمال المربع

نكتب r̂=x/r وننشر |∇ψ+r̂ψ/a|². الحد المتقاطع هو a⁻¹r̂·∇|ψ|². ويستبدل التكامل بالأجزاء تكاملَه بالعبارة −a⁻¹∫(∇·r̂)|ψ|². في ثلاثة أبعاد تتحقق ∇·r̂=2/r، بما في ذلك معناها التوزيعي؛ ويتلاشى تدفقها عند الأصل. نبدأ بدوال اختبار ملساء، ثم نمدد الهوية بالاستمرارية إلى H¹.

عند a=2D/C تحقق كل حالة مطبّعة q[ψ]≥−D/a². وتحقق الدالة الأسية ∇ψ=−r̂ψ/a، فتجعل المربع صفراً. ولذلك تبلغ الحد الأدنى الشامل وتكون حالة أرضية. وهذا أقوى من تحسين نصف قطر مفترض داخل عائلة مقيدة.

تحدد المساواة الشكل المكاني أيضاً. فالمعادلة ∇ψ=−r̂ψ/a تستلزم أن تكون exp(r/a)ψ ثابتة في كل مكان تقريباً. وهكذا يكون الفضاء الذاتي الأرضي القياسي الخالي من السبين أحادي البُعد، مع حرية السعة المركبة الثابتة. وأي تسميات داخلية إضافية تتطلب فضاء حالات محدداً على نحو مستقل.

الخطوة 3: تطبيع الحالة وقياسها الشعاعي

يعطي التكامل الكروي 1=4π|N|²∫₀∞r² exp(−2r/a)dr. وتعطي الهوية الأولية ∫₀∞rⁿ exp(−λr)dr=n!/λⁿ، للعدد الصحيح غير السالب n ولـλ>0، قيمة التكامل a³/4. وباختيار سعة كلية موجبة نحصل على:

كثافة الاحتمال لكل وحدة حجم هي |ψ₁|². أما الاحتمال الشعاعي P فيشمل حجم قشرة كروية. وهاتان كميتان مختلفتان: تبلغ الأولى قيمتها العظمى عند الأصل، بينما تبلغ الثانية ذروتها عند r=a. تصف ذروة P مجالاً شعاعياً ذا احتمال أكبر، لا مداراً إلكترونياً دائرياً محدداً بحدة.

الخطوة 4: التحقق من العزوم وتوازن الطاقة

تعطي التكاملات نفسها ⟨1/r⟩=1/a و⟨r⟩=3a/2 و⟨r²⟩=3a². ولذلك فإن التباين الشعاعي هو 3a²/4. يؤكد الانتشار المنتهي التموضع، ويبين في الوقت نفسه أن الذرة ليست مركزة على قشرة رقيقة. وعلى وجه الخصوص، يختلف متوسط نصف القطر عن نصف قطر الذروة حتى في هذه الحالة الأبسط.

بما أن |∇ψ₁|²=|ψ₁|²/a²، فإن القيمة المتوقعة للطاقة الحركية هي T=D/a². والقيمة المتوقعة لطاقة الجهد هي V=−C/a=−2D/a². ومجموعهما E₁=−D/a²، بالاتفاق مع التعويض ومع الحد الشامل.

تتيح هذه المساويات اختبارات مترابطة لأي تقريب أو نموذج مصدر متقطع. فمطابقة الطاقة وحدها تترك القياس الشعاعي ومقياس الزخم دون اختبار. أما مطابقة الطاقة والعزوم وتوازن طاقتي الحركة والجهد فتفرض قيوداً أشد بكثير على الحالة المتولدة.

الخطوة 5: فصل المنحنى التغايري عن البرهان الدقيق

نطبّع exp(−r/b) لطول تجريبي موجب اعتباطي b. وتكون القيمة المتوقعة للطاقة E(b)=D/b²−C/b. نضع x=b/a وE*=D/a². عندئذ E(b)/E*=x⁻²−2x⁻¹، وE(b)/E*+1=(x⁻¹−1)². وتقع القيمة الدنيا داخل هذه العائلة عند x=1.

يرسم العرض التفاعلي لطاقة الهيدروجين هذه العائلة الدقيقة. ويوضح المنحنى التوازن: تزيد أنصاف الأقطار الصغيرة كلفة التدرج أسرع مما تزيد التجاذب، بينما تقترب أنصاف الأقطار الكبيرة من عتبة الانفصال. وتتفق قيمته الدنيا مع البرهان الشامل، وهو ما يثبت أن أي حالة خارج العائلة لا تحقق طاقة أدنى.

عند D=1/2 وC=1، في وحدات نموذج متسقة، نجد a=1 وE₁=−1/2 وT=1/2 وV=−1. ويقدم هذا المثال قيماً مرجعية ميسرة من دون استيراد قيمة تجريبية للاقتران الكهرومغناطيسي.

الخطوة 6: إلحاق القاموس الفيزيائي

لكتلتي المكوّنين m وM، تكون الكتلة المختزلة للحركة النسبية μ=mM/(m+M). نعطي مقياس فعل ħ ونضع D=ħ²/(2μ) وC=għc. فتصبح الصيغ الدقيقة a=ħ/(μcg) وE₁=−μc²g²/2. شدة التفاعل g عديمة الأبعاد. وتضع المطابقة الكهرومغناطيسية g=α بعد تثبيت التفاعل واصطلاحات الوحدات.

تعطي كل قيمة موجبة لـg حالة أرضية مطبّعة، يتناسب حجمها مع g⁻¹ ومقدار طاقة ارتباطها مع g². ولا ينتقي الارتباط وحده g. ولا يستطيع عدّ سجلات المصدر تحديدها إلا بعد أن يصل قانون استجابة فيزيائي ذلك العدّ بالمعامل C نسبةً إلى ħ وc نفسيهما المستخدمين في انتشار المادة.

النتيجة: هدف دقيق للاكتمال الزمني

في ظل iħ∂ₜψ=Hψ، تكتسب الحالة الأرضية الطور exp(−iE₁t/ħ)، بينما تظل كثافة احتمالها ثابتة. وهذا مثال ملموس لبنية مسجلة مستمرة يتطور طورها. وتسميتها نمطاً ذرياً مكتملاً مفيدة عندما يشمل معنى الاكتمال هذه الديناميكيات المعطاة؛ لكن الشكل الساكن وحده لا يثبت آلية للتحضير.

يطلب برنامج SMM/DTT من مصدر واحد، ذي ستة أدوار داخلية متداخلة واكتمال خارجي، أن يولد مؤثر النموذج المتصل ومعاملاته وقاعدة الاحتمال المحفوظة فيه. وعندئذ يكون الحد الأدنى والتوزيع المطبّع والعزوم وهوية السرعة نتائج متزامنة ينبغي استعادتها. ويلزم نموذج إضافي للاسترخاء نحو هذا النمط، وللسبين والإشعاع والتصحيحات على تقريب كولوم.

مقالات ذات صلة بالإنجليزية

• Why the Coulomb law requires a continuum input

  Explain the additional three-dimensional Poisson assumption that yields a one-over-distance potential. Separate this matching step from the finite record-graph construction.

• A normalizable hydrogen-like ground state

  Introduce the lower-bound and bound-state results of the effective model. Explain how the supplied kinetic and potential rules produce a meaningful atomic test case.

• Why binding does not fix the coupling

  Introduce the dilation argument showing that a family of positive couplings remains compatible with binding and completion. Identify the extra source-selection law needed to obtain a specific interaction strength.

• Freeze parameters before predicting spectroscopy

  Explain the post-freeze strategy proposed for atomic observables. A spectroscopy comparison becomes informative when its coefficients are fixed without using the same transitions as targets.