اشتقاق مفصّل: ألفا والسرعة النسبية بالجذر التربيعي لمتوسط المربع

المدخلات: هاملتوني واحد وكمية سرعة مرصودة واحدة

نأخذ هاملتوني الحركة النسبية H=p²/(2μ)−C/r على L²(ℝ³)، مع p=−iħ∇، وكتلة مختزلة μ>0، ومعامل تجاذب C>0. ونعرّف معامل التفاعل العديم الأبعاد g=C/(ħc)، حيث c سرعة مرجعية معطاة بصورة مستقلة. ويعطي اشتقاق حالة كولوم الأرضية a=ħ²/(μC)=ħ/(μcg) وE₁=−μc²g²/2.

مؤثر السرعة النسبية هو v=p/μ. وهو ينتج من معادلة هايزنبرغ (i/ħ)[H,x]=p/μ، لأن الجهد يتبادل مع الموضع. وهكذا تتحدد الكمية المرصودة المقصودة قبل حساب السرعة. والجذر التربيعي لمتوسط مربع مقدارها، أو قيمتها RMS، هو v_rel,rms=√⟨v·v⟩=√⟨p²⟩/μ.

هذه تعريفات غير نسبية. وتسري العلاقة الناتجة داخل هذا النموذج الفعال، وتكون تقريباً فيزيائياً دقيقاً حيث تكون التصحيحات النسبية وغيرها مضبوطة. وتجعل قيمة صغيرة لـg السرعة المميزة للحالة الأرضية صغيرة مقارنةً بـc؛ لكنها لا تفرض حداً أعلى صارماً على كل قياس للزخم في نموذج شرودنغر.

الخطوة 1: حساب عزم الزخم مباشرةً

الحالة الأرضية المطبّعة هي ψ₁=exp(−r/a)/√(πa³). وتدرجها الضعيف هو ∇ψ₁=−r̂ψ₁/a. ويعطي تعريف العزم الثاني للزخم بواسطة الصيغة التربيعية:

لم يدخل في هذه المساواة مدار دائري ولا تقدير لعدم اليقين. فهي تنتج من التكامل على حالة ذاتية مطبّعة باستخدام المؤثر الذي عُرّف سلفاً. ويثبت a نفسه الشكل الشعاعي ومقياس الزخم معاً، ولذلك فإن النموذج الذي يعيد إنتاج أحدهما وحده لم يُعد إنتاج الحالة الذرية الكاملة.

يعطي التناظر الكروي ⟨pₓ²⟩=⟨pᵧ²⟩=⟨p_z²⟩=ħ²/(3a²). وتكون قيمة RMS للسرعة في مركبة ديكارتية واحدة cg/√3. وهذا يوضح سبب ضرورة تحديد الكمية المرصودة: فالجذر التربيعي لمتوسط مربع المقدار لا يساوي الجذر التربيعي لمتوسط مربع المركبة على اتجاه واحد.

الخطوة 2: التوفيق بين سرعة RMS غير الصفرية والتيار الصفري

نختار الدالة الموجية المكانية للحالة الأرضية حقيقية. فيكون تيار احتمالها j=(ħ/μ)Im(ψ*∇ψ)=0، ويكون ⟨p⟩=0. ولا يغير الطور الكلي المعتمد على الزمن أيّاً من النتيجتين. ومع ذلك تكون ⟨p²⟩ موجبة. فكون متوسط متجه صفراً لا يستلزم أن يكون تباينه صفراً.

إذن لا تسند الصيغة مساراً دائرياً خفياً أو زمناً لدوران الإلكترون. بل تحدد إحصاءً كمياً للزخم. ومتوسط السرعة ⟨|p|⟩/μ إحصاء آخر ممكن، ولا ينبغي إحلاله محل √⟨p²⟩/μ من دون حساب مستقل.

بالنسبة إلى SMM/DTT، يجب على التفسير بتقدمات متقطعة للمصدر أن يوضح كيفية بناء كمية السرعة المرصودة المحفوظة، ولماذا يكون لها هذا العزم. أما مجرد تسمية تأخر في المصدر سرعةً للإلكترون فيترك المطابقة العملياتية دون برهان.

الخطوة 3: اشتقاق اختبار الفيريال المستقل

لحالة ذاتية مرتبطة ومطبّعة ψ، نأخذ التمدد المطبّع ψ_λ(x)=λ^3/2ψ(λx). ويبين تغيير المتغيرات أن T(λ)=λ²T وV(λ)=λV لجهد كولوم. ولذلك فإن القيمة المتوقعة للطاقة E(λ)=λ²T+λV.

تكون الحالة الذاتية الدقيقة ساكنة بالنسبة إلى التغيرات المطبّعة القابلة للاشتقاق. وبالاشتقاق عند λ=1 نحصل على 2T+V=0. وينتج ذلك من السكون التغايري للحالة الذاتية، سواء أكانت الحالة الأرضية أم لا؛ وتتحقق شروط انتهاء العزوم وانتظام التمدد المطلوبة في حالات كولوم المرتبطة.

بالتعويض بـE₁=−μc²g²/2 نستعيد ⟨p²⟩=μ²c²g²، ومن ثم v_rel,rms=cg. يتفق حساب التدرج المباشر مع حجة التمدد، مع أن كلاً منهما يختبر أجزاء مختلفة من البناء.

الخطوة 4: تعميم العلاقة على مستويات الطاقة المرتبطة

تعطي المسألة الطيفية الكاملة لكولوم E_n=−μc²g²/(2n²)، حيث n عدد صحيح موجب. وباستخدام هذا الطيف نتيجةً معلومة إضافية، تعطي هوية الفيريال نفسها v_rel,rms/c=g/n لكل حالة ذاتية للطاقة المرتبطة. تشتق هذه الخطوة السرعة من الطيف؛ وهي ليست اشتقاقاً مستقلاً للطيف بأكمله.

يتناسب مربع السرعة مع n⁻²، مثل مقدار طاقة الارتباط. عند n=2 تكون سرعة RMS نصف قيمتها في الحالة الأرضية، وتكون طاقة الارتباط ربع قيمتها. ويمكن لحالات زخم زاوي مختلفة عند n نفسها أن تختلف في توزيعها المكاني، مع اشتراكها في هذا العزم الثاني الكلي للزخم.

الخطوة 5: التمييز بين حركة الإلكترون والحركة النسبية

ليكن xₑ وx_N موضعي الإلكترون والنواة، ولتكن r=xₑ−x_N وR=(mₑxₑ+Mx_N)/(mₑ+M). عندئذ xₑ=R+[M/(mₑ+M)]r. في إطار مركز الكتلة يكون الزخمان p و−p؛ وتكون سرعة الإلكترون p/mₑ، بينما تكون السرعة النسبية p/μ مع μ=mₑM/(mₑ+M).

لا تتساوى نسبة سرعة الإلكترون مع g/n إلا في حد النواة ذات الكتلة اللانهائية. وعند تساوي كتلتي المكوّنين، تساوي سرعة RMS لكل منهما في إطار مركز الكتلة نصف سرعة RMS النسبية. ومتجها السرعة مترابطان عكسياً، ولذلك يجب تكوين العزم الثاني النسبي قبل أخذ جذره التربيعي.

عند ثبات الاقتران، يؤدي تغيير كتلة النواة إلى تغيير a وE عبر μ، بينما تبقى نسبة RMS النسبية g/n. أما نسبة الإلكترون فتظل تتغير عبر μ/mₑ. وتوفر هذه الاعتماديات المختلفة على الكتلة شرط اتساق مفيداً لأي نموذج مصدر مقترح.

الخطوة 6: حساب مثال مثالي للعدد 137

نختار g₀=1/137 مدخلاً توضيحياً لنموذج مثالي، ونضع n=1. عندئذ v_rel,rms/c=1/137≈0.00729927، و|E₁|/(μc²)=1/(2×137²)≈0.0000266397. ولِنواة نموذجية ذات M=2000mₑ، تكون نسبة الإلكترون 2000/(2001×137)≈0.00729562.

تنتج هذه الأعداد من معاملات مختارة، من دون استخدام قيمة تجريبية لألفا. والطول الذري هو a=137ħ/(μc). ولذلك فإن الجداءين العديمي الأبعاد |E₁|a/(ħc)=1/(2×137) وμav_rel,rms/ħ=1 اختباران مترابطان للنموذج نفسه. ولا يمكن ضبطهما باستقلال مع الإبقاء على الهاملتوني المعلن.

يظل العدد البنيوي 137، ومقلوبه بوصفه تسمية لاقتران مثالي، والاقتران الكهرومغناطيسي المقيس، مراحل مختلفة في الحجة البحثية. ويجب حساب أي تصحيح ينقل من إحداها إلى الأخرى من ديناميكيات وكمية مرصودة محددتين.

النتيجة: ما الذي يجعل هذه العلاقة تنبؤاً للمصدر؟

تضع المطابقة الكهرومغناطيسية C=e²/(4πε₀) في وحدات النظام الدولي، وتعرّف α=C/(ħc). وعندئذ تُكتب هوية الحالة الأرضية الدقيقة v_rel,rms/c=α. وهي تختبر الاقتران بواسطة نتيجة ذرية، لكنها لا تنتقي ألفا: فكل g موجبة في العائلة المعطاة تحقق هويتها المقابلة.

يجب على مسار SMM/DTT الخالي من الاستدلال الدائري أن يثبت C/(ħc) في مرحلة سابقة، مستخدماً ديناميكيات مصدر واحدة لانتشار المادة واستجابة الوسيط ومعايرة الساعة وتطبيع الفعل. تنظم الأدوار الداخلية الستة المتداخلة التوليد؛ ويحدد الاكتمال الخارجي السجلات وقراءات الساعة المتاحة. ولا يثبت عدّ الأدوار وحده ولا مجرد وجود حالة مرتبطة الاستجابةَ المطبّعة.

متى انتقت تلك الديناميكيات المشتركة قيمة مثالية g₀، أتاح الهيدروجين عدة نتائج معاً: نصف القطر وطاقة الارتباط وتباين الزخم النسبي ونسب المستويات. ويمكن بعد ذلك توسيع المقارنة بمساهمات محسوبة للسبين والهولونومي والارتداد والإشعاع. وهذه هي القيمة البنّاءة لهوية السرعة: إنها تصرّح بالاتفاق المطلوب بين افتراضات المصدر والكميات الذرية المرصودة.

مقالات ذات صلة بالإنجليزية

• A normalizable hydrogen-like ground state

  Introduce the lower-bound and bound-state results of the effective model. Explain how the supplied kinetic and potential rules produce a meaningful atomic test case.

• Why binding does not fix the coupling

  Introduce the dilation argument showing that a family of positive couplings remains compatible with binding and completion. Identify the extra source-selection law needed to obtain a specific interaction strength.

• Freeze parameters before predicting spectroscopy

  Explain the post-freeze strategy proposed for atomic observables. A spectroscopy comparison becomes informative when its coefficients are fixed without using the same transitions as targets.

• Hydrogen and deuterium as complementary probes

  A proposed isotope-comparison article within the differential-test program. Identify which effects are shared and which require separate mass and nuclear inputs before interpreting a residual.

• Designing an overconstrained atomic test

  Turn the skeleton draft’s research direction into a practical analysis plan. Require more independent observables than fitted parameters and predeclare the cross-state prediction rules.