تعطي المزاوجة الموقّعة المعطاة الرتب 1,1,2,2,3,3، وترسل 64 عنوانًا ثنائيًا إلى 27 موضعًا. ويعطي أخذ عينات منتظم للمصدر أوزانًا غير متساوية للمواضع.
ما ستتعلمه
- اشتقاق تتابع رتب القراءة المزدوجة.
- حساب تعدديات المواضع الثنائية واحتمالاتها.
- تمييز المسح الداخلي عن الحركة الفيزيائية، والصورة المكانية عن الذاكرة التنبؤية.
قبل أن تبدأ: الدروس 01–03. يعني اتجاه المتجه إحداثيًا قابلًا للتغير بصورة مستقلة؛ ولا تُشترط معرفة سابقة بالجبر الخطي.
توفير إطار وتعريف القراءة
اختر ثلاثة اتجاهات مستقلة e1, e2, e3 وطولًا موجبًا ℓ. يعني الاستقلال أن أي اتجاه لا يمكن تكوينه بدمج الاتجاهين الآخرين. استخدم خانات العدّاد الست المقدمة في الدرس 02، وعرّف مرشحًا مكانيًا بمزاوجة الخانات المتجاورة بإشارات متعاكسة.
توفر هذه القاعدة عمدًا إطارًا ومقياسًا ومزاوجة. وهي تعطينا سؤالًا محددًا يمكن حله: أي معلومات تظهر في Q حين تصبح الخانات المتداخلة متاحة؟ إن إثبات دقة الجواب لهذا البناء أقوى من التشبيه، بينما يظل اشتقاق سبب اختيار المصدر لهذا البناء بعينه مهمة أخرى.
لماذا ترتفع الرتبة مرة كل دورين؟
تعدّ الرتبة هنا الاتجاهات المستقلة في مجموعة المخرجات المتاحة. حين تتغير d1 وحدها، تقع كل المخرجات على اتجاه e1. ويضيف السماح بـd2 مساهمات سالبة على الاتجاه نفسه. يغيّر ذلك المواضع المتاحة، لكنه لا يستطيع إضافة اتجاه ثانٍ. تدخل الخانة الثالثة e2؛ ولا تضيف شريكتها أيضًا أي اتجاه جديد.
يؤدي تكرار الحجة للزوج الأخير إلى الرتب 1,1,2,2,3,3. ويتحقق كل اتجاه جديد مدّعى بالفعل بوضع خانته الأولى مساوية لواحد وسائر الخانات صفرًا، لذا فهذه رتب متحققة وليست حدودًا عليا. ولا تقول النتيجة إن كل عملية من ست مراحل يمكن تصورها تنتج فضاءً ثلاثي الأبعاد. فأعمدتها الموقّعة وإطارها المستقل هما اللذان يؤديان العمل الرياضي.
مثال محلول: عدّ زوجًا واحدًا أولًا
للخانات الثنائية أربع إمكانات في الزوج الواحد. يعطي الزوجان (0,0) و(1,1) فرقًا صفرًا، بينما يعطي (1,0) القيمة +1، ويعطي (0,1) القيمة −1. لذلك تكون تعدديات القيم −1,0,+1 هي 1,2,1. وعند التحضير المنتظم لحالات الزوج الأربع تكون احتمالاتها 1/4,1/2,1/4.
تعطي ثلاثة أزواج مستقلة 4³=64 عنوانًا و3³=27 ثلاثية إحداثيات. وتُضرب التعدديات بعضها في بعض: للأصل 2×2×2=8 ممثلين، ولموضع مثل (1,0,0) أربعة، وللموضع (1,1,1) ممثل واحد. واحتمالاتها على الترتيب 1/8, 1/16, 1/64. المسافات في الرسم منتظمة، لكن مقياس أخذ العينات المعلن غير منتظم بوضوح.
افتح الرسم بالحجم الكامل ←
افحص التوزيع كاملًا
جمّع المواضع بحسب عدد الإحداثيات غير الصفرية j. يوجد موضع مركزي واحد، وستة مواضع ذات إحداثي غير صفري واحد، واثنا عشر موضعًا ذات إحداثيين، وثمانية ذات ثلاثة. وتعددياتها على الترتيب ثمانية وأربعة واثنان وواحد. وعدد المواضع 1+6+12+8=27، وعدد العناوين 8+24+24+8=64.
يوفر ذلك فحص تطبيع مستقلًا مفيدًا: احتمالات الفئات الأربع هي 1/8,3/8,3/8,1/8 ومجموعها واحد. ويتطلب أخذ عينات منتظم للمواضع تحضيرًا أو قاعدة ترجيح مختلفة. مثلًا، يمكن إسناد احتمال 1/[27M(y)] لكل عنوان عند الموضع y، حيث M(y) تعددية ذلك الموضع. وعندئذ يعطي جمع مساهماته M(y) القيمة 1/27 بالضبط.
تنسى الشاشة المكانية عملية حمل
استخدم عرض القراءة المكانية الثنائية عند العنوانين صفر وثلاثة. سلسلتا خاناتهما، مع الأقل أهمية أولًا، هما 000000 و110000. وتعطي كلتاهما Q=0. زد كل عنوان مرة واحدة. يعطي العنوان واحد ℓe1، بينما يعطي العنوان أربعة ℓe2.
هذا هو اختبار فشل الاستقلال من الدرس 03 في سياق مكاني. لا يستطيع راصد احتفظ بالموضع الحالي وحده معرفة اللاحق الذي عليه اختياره. ويصلح الاحتفاظ بمعلومات الحمل التنبؤ. ويحذر المثال أيضًا من تفسير المسح المرتّب للعدّاد بوصفه مسار جسيم: فقد ينشئ الحمل قفزة في الإسقاط. ويجب تحديد قانون للحركة المحلية على المواضع المحتفظ بها واختباره على نحو منفصل.
ما الذي أثبتته ثلاثة إحداثيات؟
لدينا صورة منتهية دقيقة ذات ثلاثة اتجاهات مستقلة، وتعدديات محسوبة، وفقد معلوم للمعلومات التنبؤية. لكن ليست لدينا بعد قاعدة مسافة فيزيائية، أو مسطرة معايرة تجريبيًا، أو حد لانتشار الإشارة. ولم يكن التعامد نفسه مطلوبًا في حساب الرتبة؛ فإسناد أطوال إقليدية يضيف مترية إلى الإطار المستقل.
يبرهن اشتقاق الرتبة المزدوجة الأعمق حدًا أدنى من ست قنوات ضمن بنية الأزواج المتعاكسة، ويشرح البدائل خارج تلك الافتراضات. أما الدرس التالي فيتابع منظور السجلات المولّدة: اختر أي السجلات متجاورة، واشتق المسافات من المقارنات المسموح بها، وحدّد هل تحترم الديناميكا الفعلية تلك العلاقات.
جرّب التمارين
حلّ كل سؤال، ثم افتح الإجابة لمقارنة الخطوات.
التمرين 1
للموضع الثنائي (−1,0,1)، أوجد تعدديته واحتماله تحت أخذ عينات منتظم للعناوين.
اعرض الحل المشروح
للإحداثي الأول ممثل واحد، وللثاني اثنان، وللثالث واحد. يعطي الاستقلال M=1×2×1=2. وبما أن احتمال كل عنوان من العناوين الـ64 هو 1/64، فإن احتمال الموضع 2/64=1/32. وهو ينتمي إلى الفئة ذات الإحداثيين غير الصفريين؛ ويوجد اثنا عشر موضعًا من هذا النوع، تحمل معًا احتمال 12/32=3/8.
التمرين 2
عند الأساس ثلاثة، تكون كل خانة 0 أو 1 أو 2. اسرد تعدديات فرق واحد، وأوجد العدد النهائي للمواضع واحتمال الأصل.
اعرض الحل المشروح
للفروق −2,−1,0,1,2 على الترتيب 1,2,3,2,1 ممثلين. المجموع تسعة كما يلزم لخانتين ثلاثيتين. لذا تعطي ثلاثة أزواج 5³=125 موضعًا من 3⁶=729 عنوانًا. وللأصل 3³=27 ممثلًا، فيكون احتماله 27/729=1/27 تحت أخذ عينات منتظم للعناوين. وتبقى الرتبة ثلاثة.
تابع مع المقالات
- ست مراحل داخلية وواجهة نشر واحدة
شرح تراتب رتب القراءة 1, 1, 2, 2, 3, 3 الذي يعقبه الاكتمال. هذه أدوار وظيفية متداخلة وليست ستة إحداثيات زمنية مستقلة قابلة للقراءة.
- توليد جوار وحفظ النقل المحلي
فصل إعادة بناء التجاور المكاني عن اشتراط بقاء الديناميكا اللاحقة محلية. وشرح قواعد النقل المحروسة المستخدمة لحفظ المترية المولّدة.
- ما تنساه القراءة المكانية
بحث المعلومات المفقودة حين تُختزَل حالة توليدية كاملة إلى سجلات مكانية. وشرح كيف قد تظل هندسة تبدو مكتملة غير كافية للتنبؤ المستقل.