الدرس 10: الترابط والهيدروجين ومعنى السرعة

حدد ما يجعل الزوج مترابطاً

لا يثبت التعادل الكهربائي وحده وجود ذرة: فقد تكون شحنتان متعاكستان متباعدتين. يتطلب الترابط حالة متموضعة طاقتها أدنى من طاقة المكونات المنفصلة. افترض هاملتونياً ثلاثي الأبعاد للإحداثي النسبي H=−D∇²−C/r، مع D وC موجبين وعتبة انفصال تساوي صفراً. يمثل الحد الأول كلفة حركية، والثاني تجاذباً.

لإلكترون كتلته m_e ونواة كتلتها M، تكون الكتلة المختزلة μ=m_eM/(m_e+M). تضبط المطابقة المعتادة D=ℏ²/(2μ) وC=gℏc. تصبح g العديمة الأبعاد اقتراناً كهرومغناطيسياً بعد المطابقة مع ذلك التفاعل الفيزيائي. الهندسة والديناميكيات المتماسكة والجهد المتناسب عكسياً مع المسافة ومعاملاتها كلها مدخلات لحساب هذا الدرس.

مثال محلول: أوجد الحجم المفضّل

خذ الدالة الأسية المطبّعة ψ(r)=exp(−r/a)/√(πa³)، حيث تتحكم a>0 في حجمها المكاني. قيمة توقع الطاقة الدقيقة في الهاملتوني المعطى هي E(a)=D/a²−C/a. يعطي التفاضل E′(a)=−2D/a³+C/a²، وتنعدم هذه المشتقة عند a_*=2D/C.

عندما D=1/2 وC=1 بوحدات النموذج، تكون معلمة نصف القطر واحداً والطاقة −1/2، أي دون عتبة الانفصال. هذه قيمة صغرى ضمن عائلة الحالات التجريبية. يقدم اشتقاق كولوم الكامل حداً أدنى بطريقة إكمال المربع لجميع الحالات المسموحة، ويبين أن الدالة الأسية بعد التحسين هي الحالة الأرضية الدقيقة لهذا المؤثر.

قارن منحنى الترابط بكامله

ضع x=a/a_* واقسم الطاقة على |E_*|. يرسم عرض طاقة الهيدروجين التفاعلي الدالة الناتجة 1/x²−2/x. تساوي قيمتها مضافاً إليها واحد (1/x−1)²، مما يثبت أن قيمتها الصغرى −1 عند x=1.

عند x=1/2، تكون المساهمتان الحركية والكامنة أربعة وسالب أربعة، فيكون المجموع صفراً. وعند x=2 تكونان 1/4 وسالب واحد، فيكون المجموع −3/4. يصف المنحنى التوازن بين كلفة الحصر والتجاذب. تؤدي مضاعفة C مع تثبيت D إلى تنصيف a_* ومضاعفة |E_*| أربع مرات، لكنها تترك هذا المنحنى العديم الأبعاد دون تغيير. لذلك لا يستطيع وجود منحنى الترابط أو شكله وحده انتقاء قيمة عددية للاقتران.

توزيع الاحتمال ليس مداراً

الاحتمال الشعاعي المطبّع هو P(r)=4r²exp(−2r/a_*)/a_*³. وهو يتضمن حجم قشرة كروية. تبلغ قمته عند r=a_*، بينما تبلغ كثافة الاحتمال لكل وحدة حجم أقصاها عند الأصل. ومتوسط نصف قطره 3a_*/2، ولذلك تصف حتى القمة والمتوسط إحصاءين مختلفين.

لدالة الموجة المستقرة الحقيقية القيم للحالة 1s تيار احتمال صفري. لا يعني ذلك أن تباين الزخم صفري. يمكن لحالة مستقرة ممتدة أن يكون متوسط زخمها صفراً ومتوسط مربع زخمها غير صفري. لذلك يصف الرسم الشعاعي إحصاءات قياسات الموضع المتكررة، ولا يصف إلكتروناً يتتبع مساراً دائرياً. فسّر كل تنبؤ مدّعى للمصدر باستخدام الكمية المرصودة المحددة نفسها.

اشتق إحصاء السرعة بعناية

لحالة كولومية مقيدة، تكون علاقة الفيريال 2⟨T⟩=−⟨V⟩، ولذلك E=−⟨T⟩. يعطي الطيف E_n=−μc²g²/(2n²) عندئذ ⟨p²⟩=μ²c²g²/n². وجذر متوسط مربع السرعة النسبية هو √⟨p²⟩/μ=cg/n. في الحالة الأرضية وبعد المطابقة الكهرومغناطيسية، تتحقق العلاقة v_rel,rms/c=α.

في إطار مركز الكتلة، يحمل الإلكترون الزخم النسبي نفسه p، لكن سرعته المتجهة هي p/m_e. لذلك تكون نسبة جذر متوسط مربع سرعته إلى سرعة الضوء (μ/m_e)g/n. لزوج متساوي الكتلتين، يكون جذر متوسط مربع سرعة كل مكون نصف القيمة النسبية. وحدها نواة ذات كتلة لا نهائية تجعل نسبة الإلكترون والنسبة النسبية تتطابقان تماماً.

استخدم اختبارات ذرية مترابطة متعددة

يعطي المُدخل نفسه g العلاقات a_*=ℏ/(μcg)، ومقدار طاقة الترابط الأرضية μc²g²/2، وجذر متوسط مربع السرعة النسبية cg. عند اقتران ثابت، يغير تبديل كتلة النواة μ، فيتناسب نصف القطر عكسياً مع μ والطاقة طردياً معها، ويبقى جذر متوسط مربع السرعة النسبية دون تغيير. أما سرعة الإلكترون في إطار مركز الكتلة فتظل تتغير من خلال العامل μ/m_e.

ينبغي لقانون مادة مشتق من المصدر أن يعيد إنتاج هذه العلاقات باستخدام قاموس مشترك واحد للساعة والفعل. وينبغي أن يحدد التصحيحات الإضافية قبل مقارنة الأطياف الدقيقة؛ فالنموذج الحالي يهمل التأثيرات النسبية واللف المغزلي والتأثيرات الإشعاعية والنووية. يسأل الدرس 11 عما يمكن أن يحدد g في مرحلة أسبق. إنتاج عدد صحيح بنيوي أحد المكونات المرشحة، بينما تبقى الاستجابة الفيزيائية المطبّعة حساباً مستقلاً.

جرّب التمارين

حل كل سؤال، ثم افتح الإجابة لمقارنة الخطوات.

تابع القراءة في المقالات

• حالة أرضية شبيهة بالهيدروجين قابلة للتطبيع

  تقديم نتائج الحد الأدنى والحالة المقيدة في النموذج الفعّال. وشرح كيف تنتج قواعد الحركة والجهد المعطاة حالة اختبار ذرية ذات معنى.

• لماذا لا يحدد الترابط الاقتران

  تقديم حجة إعادة التحجيم التي تبين بقاء عائلة من الاقترانات الموجبة متوافقة مع الترابط والاكتمال. وتحديد قانون انتقاء المصدر الإضافي اللازم للحصول على شدة تفاعل معينة.

• الهيدروجين والديوتيريوم كمسبارين متكاملين

  مقال مقترح لمقارنة النظائر ضمن برنامج الاختبارات التفاضلية. يحدد التأثيرات المشتركة وتلك التي تحتاج إلى مدخلات مستقلة للكتلة والنواة قبل تفسير فرق متبقٍّ.